Proyección ortogonal

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La proyección ortogonal del segmento AB sobre la recta L es el segmento PQ.

En geometría Euclidiana, Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.
En el plano, la proyección ortogonal es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyección L.
Así, dado un segmento AB, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –mediante líneas proyectantes auxiliares perpendiculares a L–, para determinar la proyección sobre la recta L.
Una aplicación de proyecciones ortogonales son los teoremas de las Relaciones métricas en el triángulo mediante las cuales se puede calcular la dimensión de los lados de un triángulo.
El concepto de proyección ortogonal se generaliza a espacios euclidianos de dimensión arbitraria, inclusive de dimensión infinita. Esta generalización juega un papel importante en muchas ramas de matemática y física.

[editar] Casos de proyección ortogonal en el plano

Proyección ortogonal de un punto

La proyección ortogonal de un punto P en una recta L es otro punto A que se obtiene trazando una línea auxiliar perpendicular a L desde el punto A. Lógicamente, si el punto P pertenece a la recta L, coinciden: P = A .

Proyección ortogonal de un segmento

Caso general: si el segmento dado AB no es paralelo la recta L, la proyección ortogonal es segmento PQ que se obtiene trazando líneas perpendiculares a L desde los puntos extremos. La magnitud de la proyección siempre es menor que la del segmento dado.

Si el segmento PQ y la recta L son paralelos, la proyección será: AB = PQ, que se obtiene de forma análoga.

Si el segmento AB tiene un punto común con la recta L, la proyección se obtiene de modo similar.

Si el segmento AB corta a la recta L, la proyección se obtiene de forma análoga.

Relaciones métricas en el triángulo

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Las relaciones métricas en el triángulo son cinco teoremas o propiedades, incluyendo la ecuación del Teorema de Pitágoras. Estas son válidas, exclusivamente, en el triángulo rectángulo y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos de triángulo.

Contenido

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[editar] Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

Triángulo utilizado para describir las propiedades.

Dado un triángulo rectángulo ABC (véase la imagen), con ángulo recto en C, donde:

c es la hipotenusa,

h es la altura relativa a la hipotenusa,

p y q son los segmentos determinados en la hipotenusa,

se cumplen las siguientes propiedades:

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa:

$a^2 = c.p \,$

$b^2 = c.q \,$

comprobación

el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

$\frac{b}{c}=\frac{q}{b}$

despejando

$b^2 = c.q \,$

El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa:

$h^2 = p.q \,$

comprobación

el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto:

$\frac{q}{h}=\frac{h}{p}$

despejando:

$h^2 = p.q \,$

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).

$c^2 = a^2+b^2 \,$

comprobación

del teorema anterior:

$a^2 = c.p \,$

$b^2 = c.q \,$

sumando ambas ecuaciones:

$b^2+a^2=c.q+c.p \,$

luego

$b^2+a^2=c(p+q) \,$

pero p+q=c

$b^2+a^2=c.c \,$

finalmente

$c^2 = a^2+b^2 \,$

El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura:

$a.b = h.c \,$

comprobación

existen dos comprobaciones:
1) a partir de las superficies o áreas:

$A=\frac1{2}a.b\,$

$A=\frac1{2}c.h\,$

eso quiere decir que:

$\frac1{2}a.b=\frac1{2}c.h\,$

que al eliminar los doses:

$a.b=c.h\,$

2) el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

$\frac{c}{h}=\frac1{b}{a}\,$

despejando:

$a.b=c.h\,$

El inverso del cuadrado de la altura de la hipotenusa es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos:

$\frac1{h^2} = \frac1{a^2}+\frac1{b^2} \,$

comprobación

por el teorema de Pitágoras:

$c^2 = a^2+b^2 \,$

dividimos entre $(a.b)^2\,$ :

$\frac{c^2}{(ab)^2} = \frac{a^2+b^2}{(a.b)^2}\,$

pero a.b=c.h

$\frac{c^2}{(ch)^2} = \frac{a^2+b^2}{(a.b)^2}\,$

eliminando las c y convirtiendo en 2 la fracción de la derecha:

$\frac1{h^2} = \frac{a^2}{(a.b)^2}+\frac{b^2}{(a.b)^2} \,$

simplificando

$\frac1{h^2} = \frac1{a^2}+\frac1{b^2} \,$

[editar] Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo

Euclides vio un inconveniente: en un triángulo rectángulo

c 2 = a 2 + b 2

¿cuanto debería valer numéricamente el lado a en un triángulo oblicuángulo? Euclides despejó su duda con la primera ley de Euclides para los triángulos oblicuángulos.

[editar] Primer teorema de de Euclides

El cuadrado de uno de los lados de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del lado relativo a la altura por la proyección del lado opuesto al que se quiere hallar.

$a^2 = c^2+b^2 -2.b.n\,$

Comprobación
Euclides notó que aunque no se generen triángulos semejantes al trazar la altura se generan dos triángulos rectángulos en los cuales se puede aplicar el teorema de Pitágoras:
empezamos en el triángulo de la izquierda

$a^2 = h^2+m^2\,$

luego despejamos la altura

$h^2 = a^2-m^2\,$

pero m=b-n

$h^2 = a^2-(b-n)^2\,$

en el triángulo de la derecha

$c^2 = h^2+n^2\,$

despejando la altura

$h^2 = c^2-n^2\,$

eso quiere decir que:

$a^2-(b-n)^2 = c^2-n^2\,$

elevando el binomio al cuadrado:

$a^2-b^2+2.b.n-n^2= c^2-n^2\,$

simplificando:

$a^2-b^2+2.b.n = c^2\,$

despejando:

$a^2 = b^2+c^2-2.b.n\,$

análogamente:

$c^2 = a^2+b^2-2.b.m\,$

[editar] Segundo teorema de Euclides

En un triángulo obtusángulo, el lado opuesto al ángulo agudo al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos más el doble de la base por la proyección de la altura trazada desde uno de los ángulos menores.

$a^2 = c^2+b^2+2.b.n\,$

comprobación
Euclides notó que al trazar la altura exterior se generan dos triángulos rectángulos (AHC y BCH)
en el más pequeño (AHC)

$c^2 = h^2+n^2\,$

despejando la altura

$c^2-n^2 = h^2\,$

en el triángulo BHC

$a^2 = h^2+(b+n)^2\,$

despejando la altura

$a^2-(b+n)^2 = h^2\,$

eso quiere decir que

$a^2-(b+n)^2 = c^2-n^2\,$

elevando el binomio al cuadrado

$a^2-b^2-2.b.n-n^2 = c^2-n^2\,$

simplificando

$a^2-b^2-2.b.n = c^2\,$

despejando

a 2

$a^2 = c^2+b^2+2.b.n\,$

[editar] Cálculo de las líneas notables de un triángulo

A partir de los dos teoremas anteriores se deriva fórmulas para el cálculo de las líneas notables de un triángulo. A continuación vamos a ver estos 5 teoremas con su comprobación.

[editar] Teorema de Stewart (cálculo de la ceviana)

Artículo principal: Teorema de stewart

Stewart dice que el producto resultante entre una ceviana de un triángulo al cuadrado y de la base de este es igual a la al cuadrado por la proyección del cateto opuesto más la suma del segundo cateto al cuadrado por la proyección del cateto opuesto a este menos el producto resultante entre las multiplicación de las proyecciones de los catetos y la base.
Su formulación matemática es:

$d^2a = nc^2 + mb^2 - nma \,$

Donde b y c son los lados "laterales" respecto a la ceviana d correspondiente al lado a, n y m los segmentos de la base designados por la misma ceviana.

[editar] Teorema de la mediana

fig.m1: Esquema con áreas → ( ${\scriptstyle{ \color{Red} a^2}\;+\;{ \color{Orange} b^2 }\; =\; { \color{Blue} \frac{1}{2}\;c^2 }\;+\;{ \color{OliveGreen} 2\;M^2 }}$ ).

Artículo principal: teorema de Apolonio

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)
Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.

Apolonio de Perga

Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :

$a^2+b^2=\frac{1}{2}\;c^2 + 2\;M^2$

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

$M_a=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-a^2}$

$M_b=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-b^2}$

$M_c=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-c^2}$

$a=\sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-4 M_a^2}$

$b=\sqrt{\frac{a^2}{2}-c^2+2 M_a^2}$

$c=\sqrt{\frac{a^2}{2}-b^2+2 M_a^2}$

$a=\sqrt{\frac{b^2}{2}-c^2+2 M_b^2}$

$b=\sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-4 M_b^2}$

$c=\sqrt{-a^2+\frac{b^2}{2}+2 M_b^2}$

$a=\sqrt{-b^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}$

$b=\sqrt{-a^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}$

$c=\sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-4 M_c^2}$

( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: M_a, M_b y M_c )^[1] — ( Semilados: m_a=n_a = ½ a , m_b=n_b = ½ b y m_c=n_c = ½ c ).

Caso particular :

Artículo principal: teorema_de_tales

En un triángulo rectángulo isósceles la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esta, (véase Corolario 1 del teorema segundo de Tales), asumiremos para la ecuación siguiente que dicha hipotenusa se denomina c).

$M_c = \frac{c}{2}$

Donde M es la mediana correspondiente a la hipotenusa denominada c.

[editar] Teorema de la bisectriz interior

Teorema de la bisectriz interior
La bisectriz interior de un triángulo al cuadrado es igual al producto de los lados menos el producto de los segmentos de la base determinados por la bisectriz.

$x^2 = a.c-m.n\,$
Donde:
X:Bisectriz interior
comprobación
por el teorema de semejanza en la bisectriz interior
$\frac{a}{m} = \frac{c}{n}\,$
despejando
$a.n = c.m\,$
por el teorema de Stewart:
$X^2(m+n) = a^2m+c^2n-(m+n)mn\,$
reemplazando an por cn
$X^2(m+n) = acn+acm-(m+n)mn\,$
despejando
$x^2 = a.c-m.n\,$

[editar] Teorema de la bisectriz exterior

La bisectriz exterior de un triángulo al cuadrado es igual al producto de los segmentos deteriminados por la bisectriz menos el producto de los lados.
Archivo:Teorema de la bisectriz exterior.jpg
$x^2 = m.n-a.c\,$
Donde:
X:Bisectriz exterior:
comprobación
Recordando el teorema de semejanza en la bisectriz interior
$\frac{a}{m} = \frac{c}{n}\,$
despejando
$a.n = c.m\,$
Luego, ejecutando el teorema de Stewart:
$a^2m = X^2(m-n)+c^2n-(m-n)mn\,$
reemplazando an por cn:
$acm = X^2(m-n)+acn-(m-n)mn\,$
luego
$ac(m-n) = X^2(m-n)+acm-(m-n)mn\,$
despejando expulsa que:
$x^2 = m.n-a.c\,$

[editar] Teorema de la altura

También conocido como el teorema de Herón. La altura de un triángulo es igual a:

$Hb = \frac2{b}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

comprobacion
Aplicando el primer teorema de Euclides:

$a^2 = b^2+c^2-2.b.(HC)\,$

despejando HC:
$(HC) = \frac1{2b}(b^2+c^2-a^2)$
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo BHC:
$Hb^2 = c^2-(HC)^2\,$
Aplicando diferencia de cuadrados
$Hb^2 = (c-(HC))(c+(HC))\,$
transformando HC
$Hb^2 = (c-\frac1{2b}(b^2+c^2-a^2))(c+\frac1{2b}(b^2+c^2-a^2))\,$
Sumando:
$Hb^2 = (\frac1{2b}(b^2-2ac+c^2-a^2))(\frac1{2b}(b^2+2ac+c^2-a^2))\,$
ejecutando el binomio al cuadrado:
$Hb^2 = (\frac1{2b}((b-c)^2-a^2))(\frac1{2b}((b+c)^2-a^2))\,$
ejecutando la diferencia de cuadrados y transponiendo el

(2 b) 2

$4b^2Hb^2 = (b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\,$
para a+b+c = 2p
$4b^2Hb^2 = (p)(p-a)(p-c)(p-b)\,$
despejando la altura expulsa que
$Hb = \frac2{b}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

[editar] Teoremas auxiliares en los cuadriláteros

[editar] Teorema de Ptolomeo

En todo cuadrilátero inscriptible el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos del cuadrilátero
$D1.D2 = ac+bd\,$
Donde:
D1,D2: Diagonales del cuadrilátero
a, b, c, d : Lados del cuadrilátero

[editar] Teorema de Viette

En todo cuadrilátero inscrito la relación de las diagonales es igual a la relación entre la suma de los productos de las longitud de sus lados que forman a los extremos de las diagonales.
$\frac{D1}{D2} = \frac{(ad+bc)}{ab+cd}$
Donde:
D1,D2: Diagonales del cuadrilátero
a, b, c, d : Lados del cuadrilátero

[editar] Teorema de Euler

En todo cuadrilátero la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales adicionado con el cuádruple del segmento de une los puntos medios de las diagonales
$a^2+b^2+c^2+d^2 = D1^2+D2^2+4X^2\,$
Donde:
D1,D2: Diagonales del cuadrilátero
a, b, c, d: Lados del cuadrilátero
X: Segmento que une los puntos medios de las diagonales

relaciones metricas en la circunferencia