Geometría.- Conceptos preliminares

Geometría

Etimología.- La palabra La geometría proviene del las palabras griegas:

                      Geo = Tierra      Metrein = medida

Esto se debe a que en los inicios de la Geometría el uso principal era para la medición de tierras.

Definición.-  Es una parte de las matemáticas que se encargan del estudio de las figuras         geométricas ,sus propiedades y sus aplicaciones

Figura Geométrica .- Es un conjunto no vacío de puntos . El punto representa al         conjunto unitario

Figuras Congruentes.- cuando tienen igual tamaño y forma

Figuras Semejantes .- Cuando tiene igual forma y diferente tamaño

Figuras Equivalentes.- Cuando tienen igual área  ó volumen sin importar su forma.

CLASIFICACION

Geometría Plana.- Estudia a las figuras planas es decir aquellas cuyos puntos están en un mismo plano

Geometría del Espacio.- Estudia a las figuras cuyos puntos no están en un mismo plano

Elementos geométricos fundamentales

El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.

 La recta: Una recta se representa con una porción de la misma y se la designa con una letra de imprenta minúscula.

El plano: Un plano se representa con una porción del mismo y se lo designa con una letra griega.

Postulados

Postulado de la existencia

ü En una recta o fuera de ella , existen infinitos puntos

ü En un plano o fuera de él , existen infinitos planos

Posición de dos puntos

Dados dos puntos  A y B, entonces

ü A y B son coincidentes, es decir son el mismo punto

ü A y B son distintos

Posiciones de un punto y una recta

Dados un punto P y unas recta r. entonces

ü El punto P esta contenido en la recta r

ü El punto P no esta contenido en la recta r

Postulado de Determinación

ü De la recta

  Por dos puntos distintos pasa una única recta

ü Del plano

  Tres puntos no colineales determinan un único plano   que pasan por ellos

Postulado de la inclusión

Si una recta tiene dos puntos distintos en un plano, entonces la recta esta contenida en el mismo plano

Postulados complementarios

ü Por dos puntos distintos pasan infinidad de planos

ü Espacio es el conjunto de todos los puntos

SEGMENTO DE RECTA

Dados dos puntos distintos de una recta, la reunión del conjunto de estos puntos con el conjunto de puntos que están entre ellos se llama segmento de recta  o simplemente segmento

RAYO Y SEMIRECTA

Se llama rayo AX  al conjunto de puntos que es la reunión del segmento AB con el conjunto de puntos X de la recta r, tales que el punto B está entre A y X

El punto A se llama Extremo u origen del  rayo

Un rayo sin su extremo es una semirrecta

Longitud de un segmento

Es la distancia entre sus extremos. La distancia entre dos puntos no depende del orden en que se mencionan los puntos.

Punto medio de un segmento

Un punto O se llama punto medio de un segmento  AB si O esta entre A y B  y AO = OB

Segmentos colineales

Dos segmentos son colineales si están en una misma recta

Segmentos Consecutivos

Dos segmentos son consecutivos si tienen un extremo común 

Congruencia de segmentos

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud

Propiedades de la congruencia

Ángulos en el Plano

Reflexiva, simétrica y transitiva

ÁNGULO

Definición.- Se llaman ángulos a a la reunión de dos rayos no colineales que tienen el mismo extremo.

Los dos rayos se llaman lados  del ángulo y su extremo común se llama vértice del ángulo.

El símbolo para el ángulo es             y se denota  así:

m       AOB y se lee medida del ángulo AOB

Obsérvese que la letra intermedia corresponde al Vértice

También se puede expresar  un ángulo por la letra de su vértice o por un número o letra escrito dentro del ángulo

POSTULADOS SOBRE ANGULOS

Postulado de la medida de ángulo

A cada ángulo AOB le corresponde un número real entre 0º y 180º

Postulado de la construcción del ángulo

Dado un rayo AB, para cada numero r entre 0º y 180º, hay exactamente un rayo AP , con P en uno de los semiplanos determinados por la recta que contiene  a         , tal que la 

Postulado de la Adición de ángulos

Si P es un punto interno del ángulo ABC , entonces:

Ángulos congruentes

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Los ángulos congruentes goza de las propiedades: reflexiva, Simétrica y transitiva

simetria

Eje de simetría

La primera figura: un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría (líneas discontinuas); las dos siguientes poseen uno y dos ejes de simetría; la cuarta no es una figura simétrica.

Un eje de simetría es una línea de referencia imaginaria que sirve para definir una simetría. En geometría, se usa la expresión "eje de simetría" para los ejes de simetría planos y para los ejes de simetría axial.

1 Barra cilíndrica que atraviesa un cuerpo giratorio y le sirve de sostén en un movimiento libre o le transmite una energía mecánica de giro: los coches llevan dos ejes: uno une las ruedas de delante y otro las de detrás. 2 Línea que atraviesa una figura o un cuerpo por su centro. 3 Recta alrededor de la cual se supone que gira una línea para generar una superficie o una superficie para generar un cuerpo. 4 Línea que atraviesa un cuerpo por su centro geométrico y lo divide en el sentido de su máxima dimensión: el eje de la carretera. 5 Cosa o persona que es el elemento principal de algo, generalmente un asunto o conversación: la economía es el eje de muchas conversaciones. Diccionario Manual de la Lengua Española Vox. © 2007 Larousse Editorial, S.L. eje m. Pieza cilíndrica, espiga, etc., alrededor de la cual gira un cuerpo o que gira con él. fig.Parte esencial de un razonamiento o de un discurso; sostén principal de una empresa; designio final de una conducta. Partir a uno por el eje. Chasquearlo o impedirle una acción determinada. crist. eje de simetría Línea que, tomada como eje de rotación, hace que el cristal coincida consigo mismo dos o más veces en una vuelta. eje cristalográfico Eje coordenado imaginario, situado en un cristal y respecto al cual se da la posición de las caras del mismo. fís. Línea alrededor de la cual gira o se supone que gira un cuerpo dotado de un movimiento, real o aparente, de rotación. ingen. mecán. Pieza que sirve para sostener y guiar un elemento giratorio de una máquina. Barra horizontal que, dispuesta perpendicularmente a la línea de tracción, une dos ruedas opuestas de un carruaje. mat. Recta alrededor de la cual se supone que gira una línea para engendrar una superficie, o una superficie para engendrar un sólido. eje de abscisas Eje x en un sistema de coordenadas cartesianas. eje de ordenadas Eje y en un sistema de coordenadas cartesianas. eje de simetría Conjunto de puntos invariables por una simetría.

[editar]Eje de simetría axial

Artículo principal: simetría axial

Un eje de simetría axial es una línea o recta tal que al rotar alrededor de ella una figura geométrica,la figura resulta visualmente inalterada. El eje de simetría axial coincide con el conjunto de puntos invariables asociados a la rotación. En un cilindro, el eje del cilindro es obviamente un eje de simetría axial, y análogamente en un cono o tronco de cono rectos. En una esfera, cualquier línea recta que pase por el centro de la esfera es un eje de simetría axial.

Una propiedad importante es que la proyección ortogonal de una figura tridimensional con un eje de simetría axial sobre un plano paralelo al mismo, da lugar a una figura plana en la que la proyección del eje es un eje de simetría plano.

Una figura simétrica, respecto de una eje, conserva la medida de los lados y de los ángulos interiores de la figura original.

numero aureo

EL NÚMERO DE ORO

Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra griega ) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea.

Tres números con nombre. La sección áurea y el número de oro. El rectángulo áureo. Pitágoras y el número de oro. La sucesión de Fibonacci. El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza. La trigonometría y el número de oro. Curiosidades áureas.

Tres números con nombre Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son: El número designado con la letra griega  = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2..radio= .diámetro). El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general . El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras. Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5). Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado  es  que da como resultado el número de oro. La sección áurea y el número de oro La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea. Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=. Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor, Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro.   El rectángulo áureo Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale  por lo que la proporción entre los dos lados es  (nuestro número de oro). Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco,  etc...). Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C. En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces: Vamos a demostrar que los vectores  y  son proporcionales: Por lo tanto, los tres puntos están alineados. Pitágoras y el número de oro Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágorashabía sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos. Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas. Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas. La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.  Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro. También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea. Ver la sección La trigonometría y el número de oro. La sucesión de Fibonacci Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...  Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.  Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*. *Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano.  La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión: t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3   + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5     +  1 = 13). Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sale el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21). Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades 1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8   + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y añades 1, sale el noveno término (t9), (1+3+8+21  +  1 =34). ¡Aún las hay más difíciles de imaginar!  Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5; elevando al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando al cuadrado y sumando: 82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercer término de la sucesión. Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del  sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13. Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos: 1  : 1   =  1       2  : 1   =  2    3  : 2   =  1´5    5  : 3   =  1´66666666    8  : 5   =  1´6   13 : 8   =  1´625   21 :13  =  1´6153846....   34 :21  =  1´6190476....   55 :34  =  1´6176471....   89 :55  =  1´6181818....  Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a =1,61803.... En lenguaje matemático, Efectivamente,                        El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ... Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.  En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=. Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2. Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de laTumba Rupestre de Mira en Asia Menor. Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción  de Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular,Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo. El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico. En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas. La espiral logarítmica Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica. Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.